Простые в арифметических прогрессиях. Часть 6. Теорема Дирихле

Наконец-то мы подошли к теореме Дирихле. Давайте аккуратно добьём её.

Итак, будем доказывать более сильное утверждение.

Теорема (Дирихле, усиленная форма). Пусть $q\ge 2$ и $\gcd (a,q)=1$. Тогда при $x\to \infty$

$$\boxed{\sum _{\begin{array}{c}p\le x\\ p\equiv a(\mathrm{mod}q)\end{array}}\frac{1}{p}=\frac{1}{\phi (q)}\log \log x+O_q(1),}$$

где сумма берётся по простым $p$.

В частности, таких простых бесконечно много: правая часть стремится к бесконечности.

1. Снова вспоминаем характеры

Ну, поехали. Понятно, что для простого $p$, взаимно простого с $q$,

$$1_{p\equiv a(\mathrm{mod}q)}=\frac{1}{\phi (q)}\sum _{\chi \mathrm{mod}q}\chi (p)\overline{\chi (a)}.$$

Мы просто написали ортогональность характеров.

Поэтому

$$\begin{array}{rl}\sum _{\begin{array}{c}p\le x\\ p\equiv a(\mathrm{mod}q)\end{array}}\frac{1}{p}& =\frac{1}{\phi (q)}\sum _{\chi \mathrm{mod}q}\overline{\chi (a)}\sum _{p\le x}\frac{\chi (p)}{p}.\end{array}$$

Для простых $p\mid q$ все характеры равны нулю, так что эта запись верна без дополнительных исключений.

И вот наша задача свелась к пониманию суммы вида

$$S_{\chi }(x)=\sum _{p\le x}\frac{\chi (p)}{p}.$$

2. Что нам говорит L-функция

Давайте вспоминать уже известное.

В части 3 мы ввели $L$-функции и получили из произведения Эйлера

$$\log L(s,\chi )=\sum _p\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\chi (p{)}^k}{k{p}^{ks}},\Re s>1.$$

Для вещественного $\sigma >1$ отделим слагаемые с $k=1$:

$$\boxed{\log L(\sigma ,\chi )=\sum _p\frac{\chi (p)}{p^{\sigma }}+O(1).}$$

Здесь остаток равномерно ограничен при $\sigma \downarrow 1$, поскольку

$$\sum _p\sum _{k\ge 2}\frac{1}{k{p}^{k\sigma }}\le \sum _p\sum _{k\ge 2}\frac{1}{p^k}<\infty .$$

Для неглавного $\chi$ мы уже доказали в части 5, что

$$L(1,\chi )\ne 0.$$

Кроме того, неглавная $L$-функция голоморфна в окрестности $1$. Значит, там можно выбрать голоморфную ветвь $\log L$, ограниченную вблизи $1$.

Следовательно,

$$\boxed{\sum _p\frac{\chi (p)}{p^{\sigma }}=O_q(1)(\sigma \downarrow 1,\chi \ne {\chi }_0).}$$

Тонкость: здесь пока доказана оценка для бесконечного ряда при $\sigma >1$, а нам нужна сумма по $p\le x$ с показателем $1$. Эти выражения похожи, но переход между ними нельзя просто объявить очевидным. Давайте его аккуратно обоснуем.

3. От σ > 1 к сумме по p ≤ x

Нам понадобится небольшая лемма, которая, по сути, позволяет убрать сглаживание показателем $\sigma$.

Лемма. Пусть $|b_p|\le 1$ для каждого простого $p$. При $x\ge e^2$ положим

$${\sigma }_x=1+\frac{1}{\log x}.$$

Тогда

$$\boxed{\sum _{p\le x}\frac{b_p}{p}=\sum _p\frac{b_p}{p^{{\sigma }_x}}+O(1),}$$

где константа в $O(1)$ абсолютная и не зависит от выбора $b_p$.

Доказательство. Разность сумм по модулю не превосходит

$$\sum _{p\le x}\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{p^{{\sigma }_x}}\right)+\sum _{p>x}\frac{1}{p^{{\sigma }_x}}.$$

Начнём с первой части. Из неравенства $1-e^{-t}\le t$ при $t\ge 0$ следует

$$\begin{array}{rl}\sum _{p\le x}\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{p^{{\sigma }_x}}\right)& =\sum _{p\le x}\frac{1-e^{-\log p/\log x}}{p}\\ & \le \frac{1}{\log x}\sum _{p\le x}\frac{\log p}{p}.\end{array}$$

По классической оценке Чебышёва $\pi (t)\ll t/\log t$ и суммированию по частям

$$\sum _{p\le x}\frac{\log p}{p}\ll \log x,$$

так что первая часть равна $O(1)$.

Для второй части снова применим оценку Чебышёва и суммирование по частям:

$$\begin{array}{rl}\sum _{p>x}\frac{1}{p^{1+1/\log x}}& \ll 1+{\int }_x^{\infty }\frac{dt}{t^{1+1/\log x}\log t}\\ & =1+{\int }_1^{\infty }\frac{e^{-u}}{u}du=O(1).\end{array}$$

В последнем переходе мы положили $t=x^u$.

Обе части ограничены — лемма доказана. $\square$

Замечание. В оригинальном коротком посте этот переход опускался. Лемма нужна именно для строгого вывода оценки с $O(1)$ для резкой отсечки $p\le x$. Оценки Чебышёва здесь достаточно; теорема о распределении простых не требуется.

Теперь применим лемму с $b_p=\chi (p)$ и $\sigma ={\sigma }_x$. Для всех неглавных характеров получаем

$$\boxed{\sum _{p\le x}\frac{\chi (p)}{p}=O_q(1).}$$

Характеров по фиксированному модулю $q$ всего $\phi (q)$ штук, поэтому сумма всех неглавных вкладов тоже будет $O_q(1)$.

4. Вклад главного характера

Теперь вернёмся к главному характеру ${\chi }_0$.

Мы помним, что

$$\log \zeta (\sigma )=\sum _p\frac{1}{p^{\sigma }}+O(1)(\sigma \downarrow 1).$$

Но, поскольку $\zeta (\sigma )\sim 1/(\sigma -1)$,

$$\sum _p\frac{1}{p^{\sigma }}=\log \frac{1}{\sigma -1}+O(1).$$

Применим ту же лемму при $\sigma =1+1/\log x$:

$$\boxed{\sum _{p\le x}\frac{1}{p}=\log \log x+O(1).}$$

Это первая теорема Мертенса о простых числах в нужной нам форме.

Главный характер равен $1$ на всех простых, не делящих $q$, и равен $0$ на простых делителях $q$. А таких простых конечное число, поэтому

$$\begin{array}{rl}\sum _{p\le x}\frac{{\chi }_0(p)}{p}& =\sum _{p\le x}\frac{1}{p}-\sum _{\begin{array}{c}p\le x\\ p\mid q\end{array}}\frac{1}{p}\\ & =\log \log x+O_q(1).\end{array}$$

5. Собираем всё вместе

Теперь давайте просто всё соберём. По ортогональности

$$\sum _{\begin{array}{c}p\le x\\ p\equiv a(\mathrm{mod}q)\end{array}}\frac{1}{p}=\frac{1}{\phi (q)}\sum _{\chi \mathrm{mod}q}\overline{\chi (a)}\sum _{p\le x}\frac{\chi (p)}{p}.$$

Для главного характера $\overline{{\chi }_0(a)}=1$, и его вклад равен

$$\frac{1}{\phi (q)}\log \log x+O_q(1).$$

Для всех остальных характеров, как мы только что доказали, внутренние суммы ограничены; каждый из этих вкладов равен $O_q(1)$.

Итак,

$$\boxed{\sum _{\begin{array}{c}p\le x\\ p\equiv a(\mathrm{mod}q)\end{array}}\frac{1}{p}=\frac{1}{\phi (q)}\log \log x+O_q(1).}$$

Поскольку $\log \log x\to \infty$, в арифметической прогрессии $a,a+q,a+2q,\dots$ при $\gcd (a,q)=1$ содержится бесконечно много простых чисел.

Мы доказали теорему Дирихле. $■$

---

Вместо послесловия

Мы начали с очень простого вопроса: почему вообще возникают характеры?

Потом выяснили, что они дают базис Фурье на конечной абелевой группе и позволяют выделять нужные классы вычетов. Оттуда пришли к $L$-функциям, научились обращаться с их произведением Эйлера и доказали главное аналитическое утверждение — $L(1,\chi )\ne 0$ для неглавных характеров.

А теперь всё это соединилось буквально в одну строку ортогональности.

Это последняя, шестая часть цикла «Простые в арифметических прогрессиях», начатого с анонса и пререквизитов. Текст перенесён из Telegram-канала «Задача дня»