Простые в арифметических прогрессиях. Часть 5. L(1, χ) ≠ 0

Вот мы и добрались до первой реально серьёзной теоремы о $L$-функциях. Весь этот пост мы будем доказывать следующую теорему.

Теорема 1. Для любого неглавного характера Дирихле $\chi$ верно

$$\boxed{L(1,\chi )\ne 0.}$$

Ну, поехали!

Что мы уже знаем о $L$-функциях

В части 3 мы ввели ряд Дирихле

$$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n^s}.$$

Этот ряд сходится абсолютно при $\Re s>1$. Давайте пойдём дальше и заметим, что он сходится равномерно на любом компакте полуплоскости $\Re s>1$ и задаёт там голоморфную функцию.

Это довольно технический факт из комплексного анализа, но давайте я его быстро проговорю. Для всякого компакта $K\subset \{\Re s>1\}$ существует $\epsilon >0$, для которого

$$\Re s\ge 1+\epsilon (s\in K).$$

Тогда каждый член ряда оценивается по модулю как

$$\left|\frac{\chi (n)}{n^s}\right|\le \frac{1}{n^{1+\epsilon }},$$

поскольку $|\chi (n)|\le 1$. По признаку Вейерштрасса исходный ряд равномерно сходится на $K$.

Нам понадобится ещё один факт. Если $\chi$ неглавный, его частичные суммы ${\sum }_{n\le x}\chi (n)$ ограничены (по периодичности и нулевой сумме за полный период). По преобразованию Абеля ряд $L(s,\chi )$ на самом деле голоморфен уже при $\Re s>0$. Так что значение $L(1,\chi )$ корректно определено.

Теперь вернёмся к исходной задаче. Сначала решим её для характеров, принимающих невещественные значения, а потом разберём вещественные.

Часть 1. Невещественные характеры

Итак, рассмотрим такую замечательную функцию вещественной переменной $\sigma >1$:

$$\boxed{F(\sigma )=\zeta (\sigma {)}^3|L(\sigma ,\chi ){|}^4|L(\sigma ,{\chi }^2)|.}$$

В исходном рассуждении этот приём появляется довольно неожиданно; его мотивировку я обсужу чуть позже.

Прологарифмируем $F$:

$$\log F(\sigma )=3\log \zeta (\sigma )+4\log |L(\sigma ,\chi )|+\log |L(\sigma ,{\chi }^2)|.$$

Из произведения Эйлера получаем

$$\begin{array}{r}\log F(\sigma )=\sum _p\sum _{k=1}^{\infty }\frac{3+4\Re (\chi (p{)}^k)+\Re (\chi (p{)}^{2k})}{k{p}^{k\sigma }}.\end{array}$$

Пусть сперва $p$ не делит модуль характера. Тогда $\chi (p{)}^k=e^{i\theta }$ для некоторого $\theta$, и числитель оказывается равен

$$\begin{array}{rl}3+4\cos \theta +\cos 2\theta & =3+4\cos \theta +2{\cos }^2\theta -1\\ & =\boxed{2(1+\cos \theta {)}^2\ge 0}.\end{array}$$

Если же $\chi (p)=0$, числитель равен $3$, что тоже неотрицательно.

А значит,

$$\log F(\sigma )\ge 0,\boxed{F(\sigma )\ge 1}.$$

Ну а теперь предположим противное:

$$L(1,\chi )=0.$$

Из голоморфности $L(s,\chi )$ в окрестности $1$ следует

$$L(\sigma ,\chi )=O(\sigma -1)(\sigma \to 1+).$$

Вспомним также, что

$$\zeta (\sigma )\sim \frac{1}{\sigma -1}.$$

Поскольку $\chi$ невещественный, ${\chi }^2$ не главный: иначе значения $\chi$ были бы только $0,\pm 1$. Поэтому $L(s,{\chi }^2)$ голоморфна вблизи $1$ и ограничена там.

Всё вышесказанное даёт нам

$$F(\sigma )=O((\sigma -1{)}^{-3}(\sigma -1{)}^4)=O(\sigma -1).$$

Но ведь $F(\sigma )\ge 1$! Получили противоречие, то есть

$$\boxed{L(1,\chi )\ne 0}$$

для невещественных неглавных характеров. $\square$

Откуда взялась эта функция?

Вот сейчас, наверное, читатели скажут: «Что за бред, ты объяснял мотивацию и сильно более интуитивных вещей, а здесь с потолка взял рандомную функцию и начал её оценивать!»

Давайте я попробую объяснить, почему именно эту функцию.

На самом деле от неё нам важно только то, что она строится из произведения степеней $L$-функций и что после логарифмирования её коэффициенты становятся неотрицательными.

Основная мысль в том, что логарифмируя $L$-функцию, мы получаем косинусы. И мы берём самый простой способ сделать выражение положительным всюду — сделать его полным квадратом.

Здесь подходит тождество

$$3+4\cos \theta +\cos 2\theta =2(1+\cos \theta {)}^2\ge 0.$$

При этом степени множителей специально подобраны так, чтобы предполагаемый нуль $L(1,\chi )$ «победил» полюс $\zeta (s)$ в точке $1$.

Часть 2. Вещественные характеры

Ладно, вернёмся к вещественным характерам. Тут доказательство будет сильно сложнее. Обычно на этом моменте активно используют интегральную формулу Коши. Мы обойдёмся без неё, однако доказательство будет довольно громоздким.

Как мы помним, вещественный характер обладает свойством

$${\chi }^2={\chi }_0,$$

где ${\chi }_0$ — главный характер того же модуля. Теперь уже не получится прошлый трюк, поскольку $L(s,{\chi }^2)$ добавляет новый полюс.

Давайте опять рассмотрим вспомогательную функцию

$$\boxed{F(s)=\zeta (s)L(s,\chi )}.$$

Рассмотрим представление в виде произведения рядов Дирихле:

$$F(s)=\left(\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n^s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{n^s},\Re s>1,$$

где

$$a=1{\ast }_{\mathrm{D}}\chi ,a_n=\sum _{d\mid n}\chi (d).$$

Вот тут имеет смысл доказать такой факт:

$$\boxed{a_n\ge 0,a_{m^2}\ge 1(m\ge 1).}$$

Мы помним, что $a=1{\ast }_{\mathrm{D}}\chi$ — мультипликативная функция, поэтому достаточно проверить коэффициенты на степенях простых:

$$a_{p^k}=1+\chi (p)+\cdots +\chi (p{)}^k.$$

Но вещественные характеры могут принимать только значения $-1,0,1$, а значит,

$$a_{p^k}=\{\begin{array}{ll}k+1,& \chi (p)=1,\\ 1,& \chi (p)=0,\\ 1,& \chi (p)=-1,k\text{ чётно},\\ 0,& \chi (p)=-1,k\text{ нечётно}.\end{array}$$

В частности, $a_n$ всегда неотрицательно. Более того, на квадрате $m^2$ все показатели степеней простых чётные, поэтому $a_{m^2}\ge 1$.

В моменте нам это пригодится.

Продолжение дзета-функции

Окей, заметим, что

$$\zeta (s)\sim \frac{1}{s-1}(s\to 1).$$

Но $L(s,\chi )$ голоморфна в окрестности $1$. Предположим, что $L(1,\chi )=0$. Тогда этот нуль сократит полюс дзета-функции, и $F(s)$ станет голоморфной в точке $1$.

Теперь докажем важную лемму: дзета-функция продолжается мероморфно на всю полуплоскость положительной вещественной части и единственная особенность там — простой полюс в $s=1$.

Это можно получить вообще почти без знаний ТФКП:

$$\zeta (s)=s{\int }_1^{\infty }\frac{\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}dx(\Re s>1).$$

Разложим целую часть в разность $x$ и дробной части:

$$\boxed{\zeta (s)=\frac{s}{s-1}-s{\int }_1^{\infty }\frac{\{x\}}{x^{s+1}}dx.}$$

Последний интеграл сходится локально равномерно при $\Re s>0$, поскольку $0\le \{x\}<1$. Он задаёт голоморфную функцию во всей этой полуплоскости.

Итак: если предположить $L(1,\chi )=0$, то $F(s)=\zeta (s)L(s,\chi )$ будет голоморфна на всей полуплоскости $\Re s>0$.

А сейчас и заключается вся загвоздка. Мы на самом деле сейчас продолжили наш ряд Дирихле невероятно далеко. Посмотрим, что произойдёт на прямой $\Re s=\frac{1}{2}$.

Из неотрицательности коэффициентов и оценки $a_{m^2}\ge 1$ следует, что при вещественном $\sigma$ и при сходимости ряда

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{n^{\sigma }}\ge \sum _{m=1}^{\infty }\frac{a_{m^2}}{m^{2\sigma }}\ge \sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{m^{2\sigma }}.$$

Правая часть расходится при $\sigma \le \frac{1}{2}$. Следовательно, абсцисса сходимости ряда Дирихле для $F$ не меньше $\frac{1}{2}$.

Сейчас мы докажем, почему это противоречит голоморфному продолжению.

Часть 3. Теорема Ландау о рядах Дирихле

Итак, утверждаю, что верно следующее.

Теорема Ландау. Пусть ряд Дирихле

$$D(s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{b_n}{n^s},b_n\ge 0,$$

имеет конечную абсциссу сходимости ${\sigma }_c$. Тогда точка $s={\sigma }_c$ является особой точкой функции, заданной рядом в полуплоскости сходимости: ряд нельзя голоморфно продолжить через эту точку.

Ну давайте докажем теорему Ландау — это довольно техническая теорема.

Доказательство. Предположим противное: $D(s)$ голоморфно продолжается в окрестность ${\sigma }_c$.

Возьмём вещественное $s_0>{\sigma }_c$ настолько близко к ${\sigma }_c$, чтобы круг аналитичности функции с центром $s_0$ пересекал прямую $\Re s={\sigma }_c$ и заходил немного левее.

При $s_0>{\sigma }_c$ можно почленно дифференцировать ряд, и мы получаем

$$D^{(k)}(s_0)=(-1{)}^k\sum _{n=1}^{\infty }\frac{b_n(\log n{)}^k}{n^{s_0}}.$$

Рассмотрим разложение Тейлора в точке $s_0$. Для достаточно малого положительного $\delta$, такого что $s_0-\delta <{\sigma }_c$ и $s_0-\delta$ ещё лежит в круге сходимости ряда Тейлора, имеем

$$D(s_0-\delta )=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{D^{(k)}(s_0)}{k!}(-\delta {)}^k.$$

Подставим производные:

$$D(s_0-\delta )=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{b_n(\delta \log n{)}^k}{k!n^{s_0}}.$$

Поменяем суммы. Все слагаемые неотрицательны, поэтому это допустимо по теореме Тонелли. Получаем

$$\begin{array}{rl}D(s_0-\delta )& =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{b_n}{n^{s_0}}\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(\delta \log n{)}^k}{k!}\\ & =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{b_n}{n^{s_0-\delta }}.\end{array}$$

Левая часть конечна по аналитичности, а правая — расходится, поскольку $s_0-\delta <{\sigma }_c$. Противоречие. $\square$

Завершение доказательства теоремы 1

Вернёмся к нашему ряду

$$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{n^s},a_n\ge 0.$$

Он сходится при $\Re s>1$, а из $a_{m^2}\ge 1$ мы установили, что его абсцисса сходимости удовлетворяет

$$\frac{1}{2}\le {\sigma }_c\le 1.$$

По теореме Ландау в точке ${\sigma }_c$ у него должна быть особенность.

Но мы предположили $L(1,\chi )=0$ и вывели из этого, что $F(s)=\zeta (s)L(s,\chi )$ голоморфна на всей полуплоскости $\Re s>0$. В частности, она голоморфна в точке ${\sigma }_c\ge \frac{1}{2}$.

Противоречие! Таким образом, и в вещественном случае

$$\boxed{L(1,\chi )\ne 0}.$$

Получили теорему для всех неглавных характеров Дирихле. $■$

---

Часть цикла «Простые в арифметических прогрессиях». Предыдущая часть: пререквизиты ТФКП. Оригинальная серия опубликована в Telegram-канале «Задача дня».