Простые в арифметических прогрессиях. Часть 2. Продолжение характеров. Свёртка Дирихле

Продолжаем говорить о характерах. В прошлый раз мы говорили о том, что характеры образуют базис в пространстве функций. Давайте продолжим разговор вокруг этого.

Ещё немного о характерах и преобразовании Фурье

Итак, любую функцию

$$f:\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}⟶\mathbb{C}$$

можно разложить по базису характеров:

$$f(x)=\sum _{k=0}^{p-1}{c}_k{e}^{2\pi ikx/p}.$$

Но появляется логичный вопрос: а как ведут себя коэффициенты? Что это вообще такое? Ответ довольно простой: коэффициент — это скалярное произведение функции с соответствующим базисным характером,

$$c_k=⟨f,e^{2\pi ikx/p}⟩.$$

После раскрытия скобок это даёт

$$c_k=\frac{1}{p}\sum _{x=0}^{p-1}f(x)e^{-2\pi ikx/p}.$$

Тут уже начинает быть заметна некоторая двойственность. Назовём коэффициенты преобразованием Фурье:

$$\boxed{\hat{f}(k)=\frac{1}{p}\sum _{x=0}^{p-1}f(x)e^{-2\pi ikx/p}}.$$

Тогда обратная формула выглядит так:

$$\boxed{f(x)=\sum _{k=0}^{p-1}\hat{f}(k)e^{2\pi ikx/p}}.$$

То, что мы получили, называется дискретным преобразованием Фурье. Тем, кто с ним не знаком, я предлагаю порефлексировать над этой конструкцией. В частности, рекомендую понять, почему формула ниже — просто теорема Пифагора.

Теорема 1 (формула Парсеваля)

$$\boxed{\frac{1}{p}\sum _{x=0}^{p-1}|f(x){|}^2=\sum _{k=0}^{p-1}|\hat{f}(k){|}^2}.$$

Действительно, характеры образуют ортонормированный базис пространства функций со скалярным произведением

$$⟨f,g⟩=\frac{1}{p}\sum _{x=0}^{p-1}f(x)\overline{g(x)}.$$

Поэтому формула — обычное равенство квадратов норм при разложении по ортонормированному базису.

Теперь о свёртке

А я предлагаю пойти дальше и поговорить о свёртке Дирихле.

Если вы когда-нибудь открывали литературу по аналитической теории чисел для новичков, то, скорее всего, видели очень много задач вида

• докажите, что $\mathrm{id}\ast 1=\sigma$;
• докажите, что $1\ast 1=\tau$;

и кучу подобных задач. Здесь $\mathrm{id}(n)=n,1(n)=1,\sigma (n)={\sum }_{d\mid n}d$, а $\tau (n)$ — число делителей.

И, наверное, у вас, как и у меня, складывался вопрос: что это за магическая свёртка и зачем всё это изучать?

Так вот, оказывается, свёртка — не какой-то weird object, а очень даже логичная конструкция.

Для начала вспомним обычную свёртку на аддитивной группе $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Чтобы согласовать её с нашей нормировкой преобразования Фурье, определим

$$(f\ast g)(x)=\frac{1}{p}\sum _{y=0}^{p-1}f(y)g(x-y).$$

Теорема 2

$$\boxed{\widehat{f\ast g}(k)=\hat{f}(k)\hat{g}(k)}.$$

То есть свёртка устроена так, что в координатах Фурье она становится просто перемножением коэффициентов.

Доказательство. Давайте докажем теорему 2: это будет довольно просто.

По определению,

$$\begin{array}{rl}\widehat{f\ast g}(k)& =\frac{1}{p}\sum _{x=0}^{p-1}(f\ast g)(x)e^{-2\pi ikx/p}\\ & =\frac{1}{p^2}\sum _{x=0}^{p-1}\sum _{y=0}^{p-1}f(y)g(x-y)e^{-2\pi ikx/p}.\end{array}$$

Сделаем замену переменных $z=x-y$ по модулю $p$:

$$\widehat{f\ast g}(k)=\frac{1}{p^2}\sum _{y=0}^{p-1}\sum _{z=0}^{p-1}f(y)g(z)e^{-2\pi ik(y+z)/p}.$$

Это в свою очередь равно

$$\left(\frac{1}{p}\sum _{y}f(y)e^{-2\pi iky/p}\right)\left(\frac{1}{p}\sum _{z}g(z)e^{-2\pi ikz/p}\right)=\hat{f}(k)\hat{g}(k).$$

Теорема доказана. $\square$

А где здесь свёртка Дирихле?

В аналитической теории чисел обычно рассматривают другую свёртку — для арифметических функций на натуральных числах:

$$\boxed{(f{\ast }_{\mathrm{D}}g)(n)=\sum _{d\mid n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)}.$$

Часто индекс $\mathrm{D}$ опускают, но здесь он помогает отличать её от предыдущей свёртки на конечной группе.

Идея похожа: вместо разложения числа $x$ в сумму $y+(x-y)$ мы перебираем разложения натурального числа $n$ в произведение $d\cdot (n/d)$. При перемножении абсолютно сходящихся рядов Дирихле получаем

$$\begin{array}{rl}\left(\sum _{n=1}^{\infty }\frac{f(n)}{n^s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\frac{g(n)}{n^s}\right)& =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}\sum _{d\mid n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)\\ & =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(f{\ast }_{\mathrm{D}}g)(n)}{n^s}.\end{array}$$

И здесь снова операция свёртки превращается в обычное умножение — только для рядов Дирихле, а не для дискретного преобразования Фурье на $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

Характеры Дирихле: ещё одно определение

Ну и на этом моменте, наверное, стоит сказать, что зачастую в литературе характеры Дирихле определяют немного по-другому. С точки зрения смысла это то же самое, однако сказать об этом надо.

Определение. Характером Дирихле по модулю $q\ge 1$ называется функция

$$\chi :\mathbb{Z}⟶\mathbb{C}$$

со следующими свойствами:

1. $\chi (n+q)=\chi (n)$ для всех целых $n$;
2. $\chi (n)=0$ тогда и только тогда, когда $\gcd (n,q)\ne 1$;
3. $\chi (mn)=\chi (m)\chi (n)$ для всех целых $m,n$.

Характер, принимающий значение $1$ на всех числах, взаимно простых с $q$, называется главным (на остальных числах он равен $0$).

С точки зрения предыдущих заметок это просто характер группы $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}{)}^{\times }$, продолженный нулём на числа, не взаимно простые с $q$.

В следующей заметке я расскажу побольше про характеры: поговорим о примитивных и индуцированных характерах, обсудим идею проводника и подготовим почву для изучения $L$ - функций.

---

Часть цикла «Простые в арифметических прогрессиях». Предыдущая заметка — часть 1.