Простые в арифметических прогрессиях. Часть 1. Характеры в абелевых группах

Начнём довольно издалека. Я хочу поговорить в целом о том, откуда берётся идея характеров.

В целом эта заметка — скорее следствие того, что я хочу по максимуму не брать ничего с потолка, а показывать, как та или иная вещь может быть придумана. В частности, здесь я пытаюсь показать, почему анализ Фурье — довольно логичная вещь (конечно, в рамках этой заметки в очень частном случае).

Часть 1. Идея характеров

Начнём с такого вопроса. Вот есть некоторая абелева группа $G$. Давайте посмотрим на множество гомоморфизмов

$$f:G⟶{\mathbb{C}}^{\times },$$

где ${\mathbb{C}}^{\times }$ — мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел.

Напомню, что гомоморфизм групп — это такая функция, что

$$f(xy)=f(x)f(y),f(x^{-1})=f(x{)}^{-1}.$$

Ну первое, что можно заметить: в конечной группе у всех элементов конечный порядок, а значит, все образы лежат на единичной окружности и более того являются корнями из $1$.

Все такие гомоморфизмы мы назовём характерами.

Утверждение. Множество всех характеров — это группа по умножению (поточечному).

Ну и действительно, произведение характеров — характер.

Определение. Группа характеров называется двойственной группой и обозначается $\hat{G}$.

Сколько характеров у конечной абелевой группы?

Теорема 1. Если $G$ — конечная абелева группа, то

$$\boxed{|G|=|\hat{G}|}.$$

Доказательство. На самом деле нам достаточно для будущего только циклических групп: для них это очевидно, поскольку образ заданного образующего можно выбрать любым корнем из единицы соответствующего порядка.

Для полноты заметим, что любая конечная абелева группа раскладывается в прямое произведение циклических групп:

$$G\cong C_{n_1}\times \cdots \times C_{n_r}.$$

А характер прямого произведения однозначно задаётся характерами сомножителей, поэтому

$$\hat{G}\cong \widehat{C_{n_1}}\times \cdots \times \widehat{C_{n_r}}.$$

Отсюда и получаем нужное равенство порядков. $\square$

Сумма значений характера

Давайте теперь подумаем над таким логичным вопросом: чему равна сумма

$$S_f=\sum _{g\in G}f(g)$$

для фиксированного характера $f$?

Для начала заметим, что есть тривиальный характер $f(g)=1$, у которого сумма равна $|G|$. Этот характер будет у нас всегда возникать отдельно от других.

Теперь пусть есть хоть один элемент $h\in G$, для которого $f(h)\ne 1$. Тогда

$$f(h)\sum _{g\in G}f(g)=\sum _{g\in G}f(gh)=\sum _{g\in G}f(g).$$

В последнем равенстве мы просто переставили элементы группы. А так как $f(h)\ne 1$, наша сумма равна $0$.

И вот это уже намекает на то, что характеры образуют базис в пространстве функций и действительно это так.

Ортогональность характеров

Теорема (ортогональность характеров). Для характеров $\chi ,\psi \in \hat{G}$ верно

$$\boxed{\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\chi (g)\overline{\psi (g)}={\delta }_{\chi ,\psi }}$$

где ${\delta }_{\chi ,\psi }$ — индикатор равенства характеров (равен $1$, если $\chi =\psi$, и $0$ иначе).

Доказательство. Довольно очевидно:

$$\chi (g)\overline{\psi (g)}=\frac{\chi (g)}{\psi (g)}.$$

Поскольку значения характеров имеют модуль $1$, дробь $\chi /\psi$ тоже является характером. Она тривиальна тогда и только тогда, когда $\chi =\psi$. Осталось применить результат о сумме значений характера. $\square$

Вообще сейчас мы буквально доказали, что характеры образуют ортонормированный базис (с указанным выше скалярным произведением) в пространстве всех комплекснозначных функций на $G$.

Действительно, их ровно $|G|$, они попарно ортогональны и ненулевые, а размерность пространства функций на $G$ как раз равна $|G|$.

Замечание. То, что мы сейчас получили, — буквально базис Фурье. Дальше это будет ещё заметнее.

Как выглядят характеры на знакомых группах?

Давайте теперь вернёмся к более частной теории и посмотрим, как выглядят характеры, например, на группе

$$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+).$$

Это циклическая группа размера $n$. Значит, характеров всего $n$ штук, и даже понятно, как они выглядят:

$$\boxed{{\chi }_k(t)=e^{2\pi ikt/n}},k=0,1,\dots ,n-1.$$

Однако чаще полезна группа обратимых элементов

$$(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}{)}^{\times }$$

по умножению. Она выглядит менее тривиально, но её характеры — это как раз характеры Дирихле (после стандартного продолжения нулём на числа, не взаимно простые с $q$).

Уточнение. Группа $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}{)}^{\times }$ имеет $\phi (q)$ элементов, но не всегда циклическая. Например,

$$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong C_2\times C_2,$$

а не $C_4$. Рассуждение через первообразный корень работает лишь для тех модулей, где такой корень существует. При этом утверждение о числе характеров по-прежнему верно для любой конечной абелевой группы.

Как из этого возникает анализ Фурье?

Ну и напоследок покажу пример, зачем эта теория в целом может быть полезна. Предположим, мы хотим посчитать сумму вида

$$\sum _{\begin{array}{c}n<x\\ n\equiv a(\mathrm{mod}q)\end{array}}f(n).$$

Для начала вспомним, что характеры буквально дают нам индикаторы равенства двух остатков (ортогональность характеров). То есть

$$1_{n\equiv a(\mathrm{mod}q)}=\frac{1}{q}\sum _{k=0}^{q-1}{e}^{2\pi ik(n-a)/q}.$$

Здесь используются именно характеры аддитивной группы $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z},+)$, а не мультипликативные характеры Дирихле.

Поэтому

$$\begin{array}{rl}\sum _{\begin{array}{c}n<x\\ n\equiv a(\mathrm{mod}q)\end{array}}f(n)& =\sum _{n<x}f(n)1_{n\equiv a(\mathrm{mod}q)}\\ & =\sum _{n<x}f(n)\cdot \frac{1}{q}\sum _{k=0}^{q-1}{e}^{2\pi ik(n-a)/q}.\end{array}$$

Теперь переставим местами суммы:

$$\boxed{\sum _{\begin{array}{c}n<x\\ n\equiv a(\mathrm{mod}q)\end{array}}f(n)=\frac{1}{q}\sum _{k=0}^{q-1}{e}^{-2\pi ika/q}\sum _{n<x}f(n)e^{2\pi ikn/q}}.$$

На самом деле сейчас мы превратили сложную задачу о сумме функции по определённым остаткам в довольно простую экспоненциальную сумму. Эта идея будет преследовать нас ещё долго.

В следующей части, скорее всего, я расскажу, откуда берётся свёртка Дирихле, докажу формулу Парсеваля и двинусь в сторону простых в арифметической прогрессии.

---

Часть цикла «Простые в арифметических прогрессиях». Перенесено из Telegram-канала «Задача дня».