Простые в арифметических прогрессиях. Часть 3. Индуцированные характеры. Идея L-функций

Прежде чем перейти к $L$-функциям, я расскажу пару определений про характеры, которые в дальнейшем будут очень полезны.

Индуцированные и примитивные характеры

Определение 1 (напоминание). Главным характером Дирихле по модулю $q$ называется характер

$${\chi }_0(n)=\{\begin{array}{ll}1,& \gcd (n,q)=1,\\ 0,& \gcd (n,q)>1.\end{array}$$

Определение 2. Порядком характера $\chi$ называется наименьшее натуральное $r$, для которого

$${\chi }^r={\chi }_0.$$

Определение корректно, поскольку характеры Дирихле по модулю $q$ образуют конечную абелеву группу.

Вот на этом моменте давайте немного остановимся и посмотрим на такой характер по модулю $3$:

$n$	0	1	2
${\chi }_3(n)$	0	1	$-1$

И на вот такой характер по модулю $6$:

$n$	0	1	2	3	4	5
${\chi }_6(n)$	0	1	0	0	0	$-1$

По сути, ${\chi }_6$ не несёт какой-то новой информации: на числах, взаимно простых с $6$, его значения определяются остатком по модулю $3$. Вот такой эффект называется индуцированием характеров.

Определение 3. Пусть $d\mid q$, ${\chi }^{\ast }$ — характер по модулю $d$, а $\chi$ — характер по модулю $q$. Говорят, что $\chi$ индуцирован характером ${\chi }^{\ast }$, если для всех целых $n$

$$\boxed{\chi (n)={\chi }^{\ast }(n)1_{\gcd (n,q)=1}}.$$

Определение 4. Характер, не индуцированный никаким характером меньшего модуля $d\mid q$, называется примитивным.

Определение 5. Проводником характера $\chi$ по модулю $q$ называется наименьший положительный делитель $f$ числа $q$, для которого существует характер по модулю $f$, индуцирующий $\chi$.

На самом деле основной смысл в том, что многие свойства индуцированных характеров гораздо легче осознать на исходном примитивном характере. Например, главный характер индуцирован из тождественной единицы по модулю $1$.

Как характеры помогают считать простые

Давайте теперь попробуем вернуться к нашим простым в арифметической прогрессии. Мы научились немного работать с характерами, но пока не совсем понятно, как это применить к простым.

Рассмотрим функцию

$$\psi (x;q,a)=\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ n\equiv a(\mathrm{mod}q)\end{array}}\Lambda (n),$$

где функция фон Мангольдта задаётся формулой

$$\Lambda (n)=\{\begin{array}{ll}\log p,& n=p^k,k\ge 1,\\ 0,& \text{в остальных случаях}.\end{array}$$

Мотивацию её появления мы подробнее обсудим в следующих частях, а пока просто применим ортогональность характеров. Пусть $\gcd (a,q)=1$. Тогда

$$1_{n\equiv a(\mathrm{mod}q)}=\frac{1}{\phi (q)}\sum _{\chi \mathrm{mod}q}\chi (n)\overline{\chi (a)}.$$

Следовательно,

$$\begin{array}{rl}\psi (x;q,a)& =\frac{1}{\phi (q)}\sum _{\chi \mathrm{mod}q}\overline{\chi (a)}\sum _{n\le x}\Lambda (n)\chi (n).\end{array}$$

Обозначим

$$\psi (x,\chi )=\sum _{n\le x}\Lambda (n)\chi (n).$$

Итак, мы пришли к вопросу об оценке

$$\boxed{\psi (x;q,a)=\frac{1}{\phi (q)}\sum _{\chi \mathrm{mod}q}\overline{\chi (a)}\psi (x,\chi )}.$$

И на самом деле мы докажем, что основной вклад в эту сумму вносит именно главный характер, а все остальные можно погасить как $o(x)$. Но это мы докажем сильно позже.

Идея L-функций

Итак, давайте всё-таки двинемся в сторону $L$-функций. $L$-функцией Дирихле называется

$$\boxed{L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n^s}},\Re s>1.$$

Основной интерес эта сумма представляет в связи с тем, что из мультипликативности характеров

$$L(s,\chi )=\prod _p{\left(1-\frac{\chi (p)}{p^s}\right)}^{-1},\Re s>1.$$

А значит,

$$\log L(s,\chi )=-\sum _p\log \left(1-\frac{\chi (p)}{p^s}\right).$$

Давайте теперь разложим логарифм в ряд Тейлора:

$$\boxed{\log L(s,\chi )=\sum _p\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\chi (p{)}^k}{k{p}^{ks}}}.$$

На этом моменте стоит сделать два важных вывода:

• $L$-функции сходятся абсолютно при $\Re s>1$;
• $L(s,\chi )\ne 0$ при $\Re s>1$ — это следует из абсолютно сходящегося произведения Эйлера.

Но на этом мы не остановимся. И сейчас будет очень красивый момент. Давайте посмотрим на логарифмическую производную $L$-функции по $s$:

$$\frac{L^{\prime }(s,\chi )}{L(s,\chi )}=-\sum _p\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\chi (p{)}^k\log p}{p^{ks}}.$$

Вспомним определение функции фон Мангольдта — и сможем переписать это короче:

$$\boxed{-\frac{L^{\prime }(s,\chi )}{L(s,\chi )}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\Lambda (n)\chi (n)}{n^s}},\Re s>1.$$

А это мы где-то уже видели. И, на удивление, оказывается, что наша сумма с функциями Мангольдта тесно связана с $L$-функциями.

Связь с примитивными характерами

Ну и напоследок покажу ещё одну формулу, которая будет использоваться повсеместно.

Если примитивный характер ${\chi }^{\ast }$ по модулю $f$ индуцирует характер $\chi$ по модулю $q$ (где $f\mid q$), то оказывается, их $L$-функции очень тесно связаны:

$$\boxed{L(s,\chi )=L(s,{\chi }^{\ast })\prod _{\begin{array}{c}p\mid q\\ p\nmid f\end{array}}\left(1-\frac{{\chi }^{\ast }(p)}{p^s}\right)}.$$

Это просто удаление из произведения Эйлера множителей по тем простым $p$, которые делят $q$, но не делят $f$. Формула первоначально выводится при $\Re s>1$.

В следующий раз, скорее всего, обсудим необходимые пререквизиты ТФКП, после чего двинемся в сторону изучения значений $L(1,\chi )$.

---

Часть цикла «Простые в арифметических прогрессиях». Предыдущая заметка — часть 2.