Простые в арифметических прогрессиях. Часть 4. Пререквизиты ТФКП

Изначально эта часть не планировалась, так что она будет очень сильно отходить от темы предыдущих. Я постарался убрать как можно больше теории, потому что рассказать всё за один пост невозможно. Так что здесь я не буду наводить сильной строгости, а то придётся разбивать этот пост на кучу маленьких и мы сильно отойдём от темы. Для всех интересующихся рекомендую почитать какую-нибудь хорошую книжку, там всё это изложено в самом начале, строго и понятно.

В рамках этой заметки мы будем изучать свойства функций

$$f:\mathbb{C}⟶\mathbb{C}.$$

В частности, будем переносить свойства из классического матана на комплексные числа. Ну давайте этим и займёмся.

Часть 1. Пределы, производные, непрерывность

Определение 1. Пределом последовательности комплексных чисел $(z_n)$ называется комплексное число $a$ такое, что

$$\forall \epsilon >0\exists N\forall n\ge N:|z_n-a|<\epsilon .$$

Определение 2. Аналогично, предел функции по Коши записывается так:

$$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=a⟺\forall \epsilon >0\exists \delta >0\forall z:0<|z-z_0|<\delta \Rightarrow |f(z)-a|<\epsilon .$$

В отличие от вещественного случая, комплексная плоскость пополняется одной бесконечно удалённой точкой (то есть по сути мы живём на сфере).

И $+\infty$ и $-\infty$ здесь не различимы — точнее, вообще нет естественного порядка, аналогичного порядку на $\mathbb{R}$. С корректировкой на это мы на самом деле выполняем аналоги теоремы Больцано — Вейерштрасса, критерия Коши и подобных свойств пределов.

Определение производной абсолютно такое же:

$$f^{\prime }(a)=\underset{\begin{array}{c}z\to a\\ z\ne a\end{array}}{\lim }\frac{f(z)-f(a)}{z-a}.$$

Ну и непрерывности тоже:

$$f(a)=\underset{z\to a}{\lim }f(z).$$

Предел в этих формулах должен существовать при приближении с любого направления на комплексной плоскости.

Часть 2. Условия Коши — Римана

Давайте теперь наконец-то обсудим нетривиальное утверждение.

Теорема 1 (условия Коши — Римана). Пусть

$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy.$$

Если $f$ комплексно дифференцируема в точке, то в этой точке справедливы равенства

$$\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.}$$

И наоборот: если $u,v$ вещественно дифференцируемы в точке и выполняются эти равенства, то $f$ комплексно дифференцируема в этой точке.

Доказательство здесь приводить не буду, оно довольно простое и техничное. Скажу лишь, что это условие можно ещё и записать одним равенством:

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial x}=-i\frac{\partial f}{\partial y}.}$$

Замечание. Для обратного утверждения недостаточно просто написать два равенства для существующих частных производных: нужна дополнительная регулярность, например непрерывность всех первых частных производных в окрестности точки. В формулировке выше её обеспечивает вещественная дифференцируемость.

Часть 3. Голоморфные функции

Давайте теперь функцию, определённую на открытом множестве $D\subseteq \mathbb{C}$, которая дифференцируема в каждой точке $D$, назовём голоморфной.

А для произвольного множества $E$ будем говорить, что функция голоморфна на нём, если она голоморфна на некотором открытом множестве, содержащем $E$.

Определим также такое понятие как область — непустое открытое связное множество.

На самом деле голоморфные функции в каком-то смысле гораздо более узкий класс, чем обычные дифференцируемые функции.

В частности, например, $\overline{z}$ не является голоморфной (у неё нет комплексной производной ни в одной точке), а сумма, произведение и частное (там, где знаменатель не равен нулю) голоморфных функций голоморфны.

Неудивительно, что такой класс функций обладает более сильными свойствами, чем обычный класс дифференцируемых функций.

Теорема 2. Производная голоморфной функции голоморфна и, более того, любая голоморфная функция раскладывается в ряд Тейлора около каждой точки своей области голоморфности.

Это очень важный момент, который я решил не доказывать здесь (я начал писать, но пост вышел слишком огромным). Пока стоит понять некоторую интуицию, что голоморфные функции — в каком-то смысле просто предельный случай многочленов.

На самом деле это невероятно приятно. Нам больше не надо думать о том, что функция может быть не дифференцируемой, но непрерывной, дифференцируемой сколько-то раз и так далее. Голоморфность сразу даёт нам аналитичность.

Наверное, это ключевой момент всего ТФКП (по крайней мере на том уровне, на котором я сам его знаю).

Из этого следует ещё один невероятно сильный результат.

Теорема 3 (теорема единственности). Пусть $f$ и $g$ — две голоморфные функции в области $D$. Если $f(z)=g(z)$ на некоторой бесконечной последовательности различных точек, имеющей предельную точку внутри $D$, то

$$\boxed{f\equiv g\text{в }D.}$$

Следствие: нули голоморфной функции, не равной тождественно нулю в области, изолированны.

Ещё одна важная теорема, которую я оставлю без доказательства.

Теорема 4 (Вейерштрасс). Если последовательность голоморфных в области $D$ функций сходится равномерно на каждом компактном подмножестве $D$, то её предел голоморфен в $D$.

Это обычно используют так: доказывают, что ряд сходится равномерно на любом компакте внутри некоторой области, и тогда его сумма голоморфна.

На самом деле голоморфность — классное и интересное свойство, но мы теряем кучу приятных функций, которые в паре мест уходят в бесконечность. Такие функции тоже очень приятны и называются мероморфными.

Определение. Функция называется мероморфной в области, если она голоморфна всюду, за исключением изолированных полюсов.

На самом деле верно следующее: любая мероморфная функция в области является отношением голоморфных на этой области функций.

Здесь важно сказать, что простым полюсом функции называется полюс кратности $1$.

Часть 4. Немного про логарифм

Теперь давайте обсудим немного другой вопрос, а именно напомним про некоторые функции и многозначность.

Из теоремы о единственности у нас может быть только одно аналитическое продолжение, согласованное с исходной функцией в заданной области. В частности,

$$e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y),$$

что даёт нам периодичность с периодом $2\pi i$.

А значит, мы не сможем нормально определить глобальную однозначную непрерывную ветвь логарифма на всей проколотой комплексной плоскости ${\mathbb{C}}^{\times }$: у экспоненты бесконечно много прообразов каждого ненулевого числа.

Да, можно пытаться выбрать представителя из каждого класса, но тогда мы теряем непрерывность.

Мы будем справляться с этой проблемой по мере сил: будем работать локально в маленькой окрестности, где $f(z)\ne 0$. В такой окрестности, если она достаточно мала и просто связна, мы сможем определить голоморфный логарифм непрерывно. Именно поэтому нам будет так важно, что $L(1,\chi )\ne 0$.

Получилось слегка сумбурно, но ладно. Возможно, когда я по запросам слушателей сделаю пост про ТФКП в геометрии, то расскажу всё это сильно подробнее, но пока как-то так.

---

Часть цикла «Простые в арифметических прогрессиях». Предыдущая заметка — часть 3. Текст перенесён из Telegram-канала «Задача дня», формулировки пределов и теорем уточнены математически.