В общем, давно я планирую эту серию из огромного количества заметок, в которой попытаюсь рассказать про асимптотики, связанные с простыми в арифметических прогрессиях, почти с нуля.
План — доказать теорему Дирихле о простых в арифметической прогрессии, а в зависимости от того, зайдёт ли аудитории, возможно, попробовать дальше рассказать о теореме Бомбьери — Виноградова или круговом методе.
Вообще причина, по которой я решил написать эту серию, в том, что большинство книжек, в которых я читал этот материал, рассчитаны на продвинутых читателей и многие вещи там принимают очевидными. Так что при первом прочтении доказательства кажутся магическими.
Я попробую показывать мотивировку почти всех шагов (возможно, из-за этого серия будет сильно длиннее, чем обычное доказательство), за исключением пары моментов.
Часть 0. Пререквизиты
Хоть и написано, что рассказ будет почти с нуля, всё-таки некоторые вещи я не буду подробно расписывать. В частности, от читателя предполагается понимание:
- Совсем базовых вещей про оценки на простые числа (например, обычной теоремы о распределении простых чисел). Однако при большом спросе смогу сделать про это заметку отдельно.
- Базовых фактов из линейной алгебры: как работает скалярное произведение, что такое ортонормированные базисы и тому подобное.
- Базового математического анализа: умения брать не очень сложные интегралы, считать ряды, работать с асимптотиками, знать что-то про аналитическое продолжение и так далее.
- Базовой ТФКП: достаточно понимать, что такое голоморфность и интегральная теорема Коши. Однако если будет запрос, я могу сделать это отдельной заметкой в этом же цикле.
- Совсем простой алгебры: что-нибудь про структуру конечных абелевых групп.
Надеюсь, после этой серии заметок вас заинтересует такая красивая наука, как аналитическая теория чисел.
Обновление из Telegram: видимо, будет отдельный пост по ТФКП, и знание этого пререквизита не понадобится.
Перейти к части 1: «Характеры в абелевых группах» · Оглавление цикла
Перенесено из Telegram-канала «Задача дня».