Самое красивое решение задачи 10.3 олимпиады Шарыгина

Задача

Автор: Я. Щербатов.

Вписанная окружность неравнобедренного треугольника $ABC$ касается сторон $BC$, $AC$, $AB$ в точках $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ соответственно. Прямые $A{A}^{\prime }$ и $B{B}^{\prime }$ пересекаются в точке $G$.

Докажите, что точка Фейербаха треугольника $ABC$ лежит на $C{C}^{\prime }$ тогда и только тогда, когда точки $C$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $G$ лежат на одной окружности.

Задача 10.3 финального тура олимпиады Шарыгина, 2026 год.

Чертёж

Схема перерисована по иллюстрации из Telegram. Как и на исходном рисунке, $D=A^{\prime }$, $E=B^{\prime }$, $F=C^{\prime }$; обозначение $Fe$ используется для точки Фейербаха, чтобы не путать её с точкой касания $F$.

Решение из заметки

Давайте рассмотрим треугольник $AGI$ (здесь $I$ — инцентр треугольника $ABC$).

Заметим, что если $Fe$ лежит на $AG$, то гипербола Фейербаха исходного треугольника при изогональном сопряжении в треугольнике $AGI$ переходит в серединный перпендикуляр к $AG$.

Но тогда из того, что точка $B$ лежит на этой гиперболе, получаем

$$\angle (IG,GB)=\angle (IA,AB)=\angle (CA,AI).$$

Следовательно, четырёхугольник $IGAE$ вписанный. Но на этой же окружности лежит и $F$.

---

Оригинал: «Самое красивое решение задачи 10.3 олимпиады Шарыгина» — «Задача дня», Telegram.

Ещё по теме: «Самое красивое решение задачи 9.3 олимпиады Шарыгина».