Геометрическое доказательство теоремы Лагранжа

Я попытаюсь кратко показать, как работает геометрия чисел на примере красивой теоремы.

Теорема (Лагранж, 1770). Любое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел.

Часть 1. О чём заметка

На первый взгляд утверждение про суммы квадратов совершенно арифметическое. Но мы будем искать целые решения с помощью геометрии: рассматривать решётки, выпуклые тела и сравнивать объёмы.

Наш главный инструмент — теорема Минковского.

Часть 2. О решётках и выпуклых телах

Начнём с пары классических определений.

Определение 1. Решёткой в ${\mathbb{R}}^n$ с базисом ${\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_n$ назовём множество

$$\Lambda =\left\{b_1{\mathbf{a}}_1+\cdots +b_n{\mathbf{a}}_n|b_i\in \mathbb{Z}\right\},$$

где векторы ${\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_n$ линейно независимы.

Определение 2. Определителем решётки $\Lambda$ назовём число

$$\det (\Lambda )=\left|\det ({\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_n)\right|.$$

На самом деле это объём минимального по площади параллелепипеда с вершинами в узлах решётки, или, точнее, объём фундаментального параллелепипеда. Он не зависит от выбора базиса.

Итак, мы готовы подступить к главной теореме этого раздела.

Теорема 1 (Минковский, 1896). Пусть $\Gamma \subset {\mathbb{R}}^n$ — ограниченное центрально-симметричное относительно начала координат выпуклое тело, причём

$$\mathrm{vol}(\Gamma )>2^n\det (\Lambda ).$$

Тогда в $\Gamma$ найдётся ненулевая точка решётки:

$$\Gamma \cap (\Lambda \setminus \{0\})\ne \varnothing .$$

Замечание. Под объёмом здесь имеется в виду обычная $n$-мерная мера (мера Жордана, а для таких тел также мера Лебега). Если $\Gamma$ замкнуто, в утверждении можно заменить строгий знак неравенства на нестрогий; ниже нам достаточно строгой версии.

Доказательство. Давайте рассмотрим натуральное число $q$ и более мелкую решётку $\frac{1}{q}\Lambda$. Обозначим через $N_q$ количество её точек внутри $\Gamma$.

При увеличении $q$ сетка становится всё мельче, а число точек после подходящей нормировки стремится к объёму:

$$\underset{q\to \infty }{\lim }\frac{N_q}{q^n}=\frac{\mathrm{vol}(\Gamma )}{\det (\Lambda )}.$$

Правая часть больше $2^n$, поэтому при достаточно большом $q$ имеем

$$N_q>(2q{)}^n.$$

Теперь посмотрим на $2\Lambda$ как на подгруппу $\frac{1}{q}\Lambda$. Индекс этой подгруппы равен

$$\left[\frac{1}{q}\Lambda :2\Lambda \right]=\frac{\det (2\Lambda )}{\det (\frac{1}{q}\Lambda )}=(2q{)}^n.$$

Значит, по принципу Дирихле две различные точки $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \Gamma \cap \frac{1}{q}\Lambda$ лежат в одном классе вычетов по $2\Lambda$. То есть

$$\mathbf{x}-\mathbf{y}\in 2\Lambda ,\mathbf{z}=\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{2}\in \Lambda .$$

При этом $\mathbf{z}\ne 0$, поскольку $\mathbf{x}\ne \mathbf{y}$.

Но $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \Gamma$. Из центральной симметричности получаем $-\mathbf{y}\in \Gamma$, а из выпуклости —

$$\mathbf{z}=\frac{\mathbf{x}+(-\mathbf{y})}{2}\in \Gamma .$$

Итак, мы нашли в $\Gamma$ ненулевую точку решётки. $\square$

Полученная теорема — невероятно сильный инструмент. Сейчас покажу, как её применять.

Часть 3. Доказываем рождественскую теорему Ферма

Прежде чем доказывать теорему Лагранжа, докажем двумерную версию нужного нам утверждения.

Теорема 2 (Ферма, 1640). Нечётное простое число $p$ представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$.

Для полноты заметим, что $2=1^2+1^2$.

Доказательство. Если $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$, то утверждение тривиально по модулю $4$: квадрат целого числа сравним с $0$ или $1$, поэтому сумма двух квадратов не может давать остаток $3$.

Пусть теперь $p=4k+1$. Существует целое число $m$ такое, что

$$m^2\equiv -1(\mathrm{mod}p).$$

Это можно получить, например, из теоремы Вильсона. Действительно, при $m=\left(\frac{p-1}{2}\right)!$ имеем

$$m^2\equiv (p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p),$$

поскольку $(p-1)/2$ чётно.

Рассмотрим решётку

$$\Lambda =\{(x,y)\in {\mathbb{Z}}^2\mid x\equiv my(\mathrm{mod}p)\}.$$

Её базис состоит из векторов $(p,0)$ и $(m,1)$, так что

$$\det (\Lambda )=p.$$

Теперь рассмотрим открытый круг с центром в начале координат радиуса $\sqrt{2p}$. Его площадь равна

$$2\pi p>4p=2^2\det (\Lambda ).$$

Условие теоремы Минковского выполнено. Значит, внутри круга найдётся ненулевая точка решётки $(x,y)$, и для неё

$$0<x^2+y^2<2p.$$

С другой стороны, из определения решётки следует $x\equiv my(\mathrm{mod}p)$, а потому

$$x^2+y^2\equiv (m^2+1)y^2\equiv 0(\mathrm{mod}p).$$

Итак, $x^2+y^2$ — положительное кратное $p$, меньшее $2p$. Следовательно,

$$\boxed{x^2+y^2=p}.$$

Теорема доказана. $\square$

Чтобы перейти от простых чисел к их произведениям, достаточно тождества

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2.$$

Часть 4. Теорема Лагранжа

Итак, перейдём к доказательству самой теоремы Лагранжа. Как и в случае с рождественской теоремой Ферма, для начала будем доказывать утверждение для нечётного простого $p$.

Когда мы доказывали предыдущую теорему, чтобы гарантировать кратность $p$, использовали корень из $-1$. В этот раз поступим аналогично и будем выражать $z$ и $w$ через $x$ и $y$.

Рассмотрим сравнение

$$a^2+b^2\equiv -1(\mathrm{mod}p).$$

У него всегда есть решение. Действительно, множества

$$\{a^2:a\in {\mathbb{F}}_p\},\{-1-b^2:b\in {\mathbb{F}}_p\}$$

содержат по $(p+1)/2$ элементов каждое. Всего же в ${\mathbb{F}}_p$ лишь $p$ элементов. По принципу Дирихле множества пересекаются, откуда и получаем нужные $a,b$.

Теперь рассмотрим решётку в ${\mathbb{R}}^4$:

$$\Lambda =\left\{(x,y,z,w)\in {\mathbb{Z}}^4|\begin{array}{l}z\equiv ax+by(\mathrm{mod}p),\\ w\equiv bx-ay(\mathrm{mod}p)\end{array}\right\}.$$

Базис этой решётки можно записать строками матрицы

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& a& b\\ 0& 1& b& -a\\ 0& 0& p& 0\\ 0& 0& 0& p\end{array}\right).$$

Поэтому

$$\det (\Lambda )=p^2.$$

Хорошо, рассмотрим открытый четырёхмерный шар с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{2p}$. Его объём равен

$$\mathrm{vol}(B_{\sqrt{2p}})=\frac{{\pi }^2}{2}(\sqrt{2p}{)}^4=2{\pi }^2{p}^2>16p^2=2^4\det (\Lambda ).$$

По теореме Минковского в шаре есть ненулевая точка $(x,y,z,w)\in \Lambda$. С одной стороны,

$$0<x^2+y^2+z^2+w^2<2p.$$

С другой стороны, по определению решётки

$$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+z^2+w^2& \equiv x^2+y^2+(ax+by{)}^2+(bx-ay{)}^2\\ & \equiv (x^2+y^2)(1+a^2+b^2)\\ & \equiv 0(\mathrm{mod}p).\end{array}$$

Следовательно, сумма четырёх квадратов является положительным кратным $p$, меньшим $2p$. Поэтому

$$\boxed{x^2+y^2+z^2+w^2=p}.$$

Для $p=2$ имеем $2=1^2+1^2+0^2+0^2$.

От простых чисел — ко всем натуральным

Остаётся перейти от простых чисел к их произведениям. Как и в случае с двумя квадратами, нужно воспользоваться тождеством, только теперь тождеством четырёх квадратов Эйлера:

$$\begin{array}{rl}& (a^2+b^2+c^2+d^2)(e^2+f^2+g^2+h^2)\\ =& (ae-bf-cg-dh{)}^2\\ & +(af+be+ch-dg{)}^2\\ & +(ag-bh+ce+df{)}^2\\ & +(ah+bg-cf+de{)}^2.\end{array}$$

Значит, произведение двух чисел, представимых суммой четырёх квадратов, тоже представимо в таком виде.

Мы доказали нужное представление для любого простого числа. А каждое натуральное число раскладывается в произведение простых. Последовательно применяя тождество Эйлера (и учитывая $1=1^2+0^2+0^2+0^2$), получаем теорему Лагранжа для всех натуральных чисел. $\square$

---

Оригинал: «Геометрическое доказательство теоремы Лагранжа» — «Задача дня», Telegram.